(19)国家知识产权局 (12)发明 专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请 号 202210426534.5 (22)申请日 2022.04.22 (71)申请人 南京航空航天大 学 地址 210016 江苏省南京市秦淮区御道街 29号 (72)发明人 罗连潭　黄向华　张天宏　蔡晓晓　 伏子豪　邓晶蕾　闵思凯　 (51)Int.Cl. G06F 16/22(2019.01) G06F 16/2455(2019.01) (54)发明名称 一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维 间点取值方法 (57)摘要 本发明涉及一种基于泰勒展开的多维插值 方案及其维间点取值方法， 属于离散数学应用领 域。 本发明公开的方法包括： 插值方法， 插值表存 储法和插值表维间取值方法， 所述的插值方法以 多元泰勒展开为载体， 所述的插值表存储法是指 通过一个二维区间数组和一维值域数组进行数 据存储， 所述的二维区间数 组只存储 各维间的独 立的维间点值， 所述的插值表维间取值方法采用 的是通过对目标函数的量纲分析来求解各维自 变量的阶次， 依据阶次选择最少的维间点的个 数。 本发明基于一阶多元泰勒展开降低了计算 量， 并通过二维区间数组降低了数据存储空间和 数据调用算法的复杂性， 还利用量纲分析出各维 变量的阶次， 以便在不破坏变化规律的前提下选 择最经济的维间点个数。 权利要求书2页 说明书7页 附图3页 CN 114969029 A 2022.08.30 CN 114969029 A 1.一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法， 包括： 插值方法， 插值表存 储法和插值表维间取值方法， 所述的插值方法包括多元泰勒展开和数据调用算法， 所述的 插值表存储法是指通过一个二维区间数组A[I][N]和一维值域数组B[K]进行数据存储， 插 值表存储数据通过数值仿真或实验的手段获得， 所述的二维区间数组只存储各维间的独立 的维间点值， 所述的独立的维间点是指第n 维的每一个维间点对应的第n +1维的多维树状图 分支的维间点的个数和数值 都一样， 所述的插值表维间取值方法采用的是通过对目标函数 的量纲分析来 求解各维自变量的阶次， 依据阶次选择最少的维间点的个数； 所述二维区间数组A[I][N]的A[0][n]表示第n维的最小值， A[In‑1][n]表示第 n维最大 值。 2.如权利要求1所述的一种基于泰勒展开的多维插值方案， 其特征在于， 所述的插值方 法以多元泰勒展开为载体， 在求解多元泰勒展开式的过程需要数据调用算法， 其中f在点 的某一领域内的任意一点 的离 散形式多元泰勒的一阶展开式为： 其中， 为待求函数值； 为插值表第n维， 第 in个维间点坐标值， 即二维区间数组A[I][N]的第n列， 第in行； 为f 对 的偏增函数值； ηn为第n维变量的待求坐标增量， 上式表示下边界值域索引插值， 也可 以上边界值域索引插值， 两者在各维变量都是独立的维间点的前提下是相等的， 其中上边 界值域索引插值公式为(其中， 各变量的定义和下边界值 域索引插值的定义 一样)： 所述的数据调用算法， 以下边界值 域索引插值公式为例， 具有如下步骤： ①根据待求坐标值， 采用黄金分割法对A[I][N]进行双重嵌套循环查找， 以计算n个维 度变量的待求 坐标增量 η1， η2，…， ηn， 和坐标(i1， i2，…， iN)； ②根据坐标(i1， i2，…， iN)来计算值域索引值hN， 这里同样采用双重嵌套循环查找的方 法， 定义参数Δ， 其中n＞0， Δ＝0表示 求 的函数值索引， Δ＝n， 表示求 解 的是偏增函数值 Δ≠n时需要根据坐标(i1， i2，…， in+1，…， iN)来 计算值域索引值， 需要在所述的循环语句里面嵌入判断语句进行判断第n维的坐标是否加 1； 所查找f的数值， 其与一维值 域数组B[hN‑1]的数值相对应， 其中第n维的hn的计算式为： hn＝(hn‑1‑1)·In‑1+in. 其中， hn表示待求解的第n维插值值域索引， hn‑1表示第n‑1维插值值域索引， In‑1表示二 维区间数组A[I][N]第n ‑1列的个数； ③根据各项， 求 解插值函数值； 作为本发明插值精度更高的一种选择， 采用高阶形式的泰勒展开， 但计算 量更高。 3.如权利要求1所述的一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法， 其特 征在于， 所述的插值表维间点取值方法采用的是通过对目标函数的量纲分析来求解各维自权　利　要　求　书 1/2 页 2 CN 114969029 A 2变量的阶次， 依据阶次选择最少的维间点的个数， 以降低插值表的制作经济成本； 所述的量纲分析的步骤为： ①先根据经验， 人为的选择 所研究现象的主 要影响因素 ②依据所描述现 象的“基本物理量 ”的量纲， 选择能全部涵盖所述 “基本物理量”的相互 独立的变量， 记为m个； ③依据π定理， 写出n ‑m个相似准则π 的表达式， 其中任意一个相似准则πi都能表达为其 余n‑m‑1个相似准则的函数， 需要选择一个包含目标函数的相似准则 πi， 从而求解出目标函 数的表达式为： 其中可以借助目标参数的已有 表达式进行 分析， 以便获得f1关于中间变量 的本构关系f1(x1， x2，…， xN)； 所述本构关系f1(x1， x2，…， xN)很难确定， 在其它维变量为常数时， f为xn的独立函数， 如 果是线性的本构关系， 有 即f1(xn)＝c， 但是真实情况由于其它维参 数的影响， 复合函数 的结构要复杂的多， 在没有分析出本构关系 时， 可以近似地将f(x1， x2，…， xN)描述为： 其中， gn＞1， an， g0， a0， b， c为未知系数， 可能会随着其它维变量值的变化而变化， a0， b只 是对曲线的左右和上 下平移， 不影响离 散点个数的选取； 对于自变量的阶次为gn时， 且gn＞0， 维间点个数至少为gn+1个； 对于自变量的阶次gn＜0 时， 维间点个数至少为3个； 当第n维变量可以近似为周期为T的周期性函数时， 根据香浓采样定理至少需要设置T/ 2的仿真或实验数据间隔才能不破坏其变化 规律。权　利　要　求　书 2/2 页 3 CN 114969029 A 3